An extension of Kac’s lemma for Furstenberg’s ergodic multiple recurrences

Sasaki, Antonio

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			http://hdl.handle.net/11422/26059

Type:	Trabalho de conclusão de graduação
Title:	An extension of Kac’s lemma for Furstenberg’s ergodic multiple recurrences
Author(s)/Inventor(s):	Sasaki, Antonio
Advisor:	Siqueira , Jaqueline
Abstract:	O teorema da recorrência de Poincaré, um pilar da teoria ergódica, postula que, sob uma medida invariante finita µ de uma função T : X → X, a probabilidade de qualquer ponto no espaço ser recorrente é um. Em termos simples, um conjunto de medidas positivas Ω ∈ X será recorrente quando, para µ - quase todos os pontos x ∈ Ω, a sequência de T-iterações retornar para perto de seu ponto inicial x infinitas vezes. Este resultado foi conjecturado por Poincaré e provado por Carath Éodory. Esta propriedade de recorrência demonstrada é intrigante por sua elementaridade, exigindo apenas que a transformação seja µ-invariante, o que significa que o par T e µ deve satisfazer µ(T−1(Ω)) = µ(Ω), para cada subconjunto mensurável Ω ∈ X. Surge uma questão pertinente: é possível generalizar o resultado de Poincaré preservando seus pressupostos fundamentais? Furstenberg demonstrou que a recorrência ocorre não apenas para retornos únicos, mas também para retornos múltiplos que formam progressões aritméticas arbitrariamente longas. Anteriormente, Kac havia publicado um refinamento significativo, não apenas comprovando a existência de recorrências singulares, mas também calculando seu tempo médio. Dado um subconjunto de medida positiva Ω ∈ X, Kac estabelece que o tempo de retorno esperado para Ω é inversamente proporcional à sua medida, µ(Ω). Nosso objetivo é estender isso a múltiplas recorrências em progressões aritméticas, conforme introduzido por Furstenberg. Para isso, focamos em sistemas dinâmicos de tempo discreto, particularmente cadeias de Markov, um ramo denso da teoria estocástica.
Keywords:	Recorrência Recurrence Medida invariante Invariant measure Progressão aritmética Arithmetic progression
Subject CNPq:	CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Production unit:	Instituto de Matemática École nationale de la statistique et de l'administration économique
Publisher:	Universidade Federal do Rio de Janeiro
Issue Date:	Sep-2024
Publisher country:	Brasil
Language:	eng
Right access:	Acesso Aberto
Appears in Collections:	Matemática

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