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An extension of Kac’s lemma for Furstenberg’s ergodic multiple recurrences

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dc.contributor.advisorSiqueira , Jaqueline
dc.contributor.referee1Khaleghi, Azadeh
dc.contributor.referee2Jay, Emmanuelle
dc.creatorSasaki, Antonio
dc.date.accessioned2025-06-09T15:11:33Z
dc.date.available2026-05-16T03:08:54Z
dc.date.issued2024-09
dc.description.resumoO teorema da recorrência de Poincaré, um pilar da teoria ergódica, postula que, sob uma medida invariante finita µ de uma função T : X → X, a probabilidade de qualquer ponto no espaço ser recorrente é um. Em termos simples, um conjunto de medidas positivas Ω ∈ X será recorrente quando, para µ - quase todos os pontos x ∈ Ω, a sequência de T-iterações retornar para perto de seu ponto inicial x infinitas vezes. Este resultado foi conjecturado por Poincaré e provado por Carath Éodory. Esta propriedade de recorrência demonstrada é intrigante por sua elementaridade, exigindo apenas que a transformação seja µ-invariante, o que significa que o par T e µ deve satisfazer µ(T−1(Ω)) = µ(Ω), para cada subconjunto mensurável Ω ∈ X. Surge uma questão pertinente: é possível generalizar o resultado de Poincaré preservando seus pressupostos fundamentais? Furstenberg demonstrou que a recorrência ocorre não apenas para retornos únicos, mas também para retornos múltiplos que formam progressões aritméticas arbitrariamente longas. Anteriormente, Kac havia publicado um refinamento significativo, não apenas comprovando a existência de recorrências singulares, mas também calculando seu tempo médio. Dado um subconjunto de medida positiva Ω ∈ X, Kac estabelece que o tempo de retorno esperado para Ω é inversamente proporcional à sua medida, µ(Ω). Nosso objetivo é estender isso a múltiplas recorrências em progressões aritméticas, conforme introduzido por Furstenberg. Para isso, focamos em sistemas dinâmicos de tempo discreto, particularmente cadeias de Markov, um ramo denso da teoria estocástica.pt_BR
dc.embargo.termsabertopt_BR
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11422/26059
dc.languageengpt_BR
dc.publisherUniversidade Federal do Rio de Janeiropt_BR
dc.publisher.countryBrasilpt_BR
dc.publisher.departmentInstituto de Matemáticapt_BR
dc.publisher.departmentÉcole nationale de la statistique et de l'administration économiquept_BR
dc.publisher.initialsUFRJpt_BR
dc.rightsAcesso Abertopt_BR
dc.subjectRecorrênciapt_BR
dc.subjectRecurrencept_BR
dc.subjectMedida invariantept_BR
dc.subjectInvariant measurept_BR
dc.subjectProgressão aritméticapt_BR
dc.subjectArithmetic progressionpt_BR
dc.subject.cnpqCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICApt_BR
dc.titleAn extension of Kac’s lemma for Furstenberg’s ergodic multiple recurrencespt_BR
dc.typeTrabalho de conclusão de graduaçãopt_BR

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